Jdi na obsah Jdi na menu
 


Derivácie

DERIVACIE 

Uz viackrat sa tu objavili requesty na pridanie rubrik o derivaciach a integraloch, tak nech sa paci, mate to tu  Sice to trvalo nejaky ten pondelok, ale lepsie neskor ako nikdy 

Nebudem tu davat odstavce s teoriou pretoze asi to vecsinu z vas nezaujima, ale je dobre mat aspon prehlad o tom co vlatne pocitame a naco to je dobre.

Derivaciou tak ako limitami zistujeme priebeh funkcie. Vieme urcit derivaciu v bode v ktorom existuje, jej rast ci pokles v specifickych bodoch a taktiez lokalne extremy maxima a minima.  Pozname derivacie prveho druheho az x-teho stupna a taktiez derivacie parcialne podla jednotlivych premennych. Su to najzakladnejsie operacie s derivaciami ktore sa na skole ucia a je dobre mat v nich prehlad. 

Takze na zaciatok by som vam priblizila nejake pravidla derivovania. Derivacie su hlavne o vzorcekoch ktore si treba zapametat a potom ste z vecsej miery za vodou.

Zakladny vzorec derivovania je:

(xn)' = n . x n-1 

  • Priklad 1: (3x4)' = 12x3
  • Toto je derivacia prveho stupna kedy exponentom nasobime cislo pred x a exponent sa nam znizuje o 1. Treba si dat pozor pri zapornych cislach pretoze znizenie znamena vecsi zapor. CIze keby sme v nasom 1.priklade  zmeili exponent na  -4 dostali by sme vysledok: -12x-5 . Ako v kazdej matematickej operacii, znamienka su stale zavadzajuce preto si na nich treba dat fakt velkeho bacha .
  • Taktiez si treba zapametat ze derivaciou samotneho X pri cisle je 0 a derivaciuou cisla bez X je 0
  • Priklady: derivaciou 6x je 6, derivaciou 6 je 0
  • Priklad 2: (6x3 - 2x2 +3x - 5)' = 18x2 + 4x + 3

Vzorec pre derivacie sucinu dvoch funkcii: 

(f . g)' = f' . g + f . g'

  • Vypocet 1. derivacie
  • Priklad 3: 1/8 (4x3 + 6x2 +6x + 3) . e-2x)' =
  • konstantu ktora sa nachaza pred prikladom nederivujeme !
  • = 1/8 (12x2 + 12x +6) . (e-2x) + (-2e-2x). (4x3 + 6x2 + 6x +3) = 
  • vyraz vieme upravit tak, ze s -2 v tretej zatvorke vynasobime 4 zatvorku a vytkneme e-2x, cize vyraz bude po upravach vyzerat nasledovne
  • = 1/8 (12x2 + 12x +6 - 8x3 -12x2 -12x -6) . e-2x =
  • teraz pokratime co sa da, a kedze uz nederivujeme berieme do uvahy aj konstantu
  • = 1/8 (12x2 + 12x +6 - 8x3 -12x2 -12x - 6) . e-2x = -x3 . e-2x

 

  • Vypocet 2. derivacie (pouzijeme rovnaky vzorec ako pri 1. derivacii)
  • (-x3 . e -2x)'' = (-3x2 . e-2x) + (-x3) . (-2e-2x) = (-3x2 + 2x3) . e-2x
  • tento tvar by sme mohli pouzit ako vysledok ale kedze je to matika a hladame co najjednoduchsie riesenie tak vytkneme x2 a dostaneme x2. (-3 + 2x ) . e-2x

 

  • Vypocet 3. derivacie 
  • pri tomto vypocte je pre nas jedoduchsie pocitat s tvarom, ktory je zapisany ako sucin 2 fukncii, cize (-3x2 + 2x3) . e-2x 
  • opat pouzijeme rovnaky vzorec a derivujeme
  • ((-3x2 + 2x3) . e-2x)''' = (-6x + 6x2) . (e-2x) + (-3x2 + 2x3) . e-2x = (-6x + 6x2 + 6x2 - 4x3) . e-2x = (-4x3 + 12x2 - 6x) . e-2x
  • a takto si mozeme derivovat dalej kym sa to len bude dat . Je to sranda ze? A to sme ani poriadne nezacali

Vzorec pre vypocet podielu dvoch funkcii 

(f/g)' = (f' . g - f . g' ) / (g2)

  • Zakladnym pravidlom pri tomto vzorci je ze pocitame IBA S CITATELOM. Po upraveni vyrazu na tvar vzorca dame menovatel do tvaru g2 uz to tak nechame az do konca prikladu. Zmeni sa iba ak budeme robit druhu derivaciu a znova pouzijeme vzorec. potom dostaneme g4
  • Tentokrat tu priklad vlozim obrazok, bude to prehladnejsie, teda aspon dufam 
  • derivacie.jpg

 

 

 

 

 

 

  • Ako si mozeme vsimnut nie je v tom ziaden chytak, treba si len davat pozor na znamienka 

Derivacie zlozenej funkcie 

g(x) = h(f(x))

(h(f(x))' = h' (f(x)) . f'(x)

  • Tento vzorec sa moze javit trochu zlozito ale v skutocnosti tomu tak nie je . Vzjadruje nam sucin vonkajsej funkcie h a vnuternej funkcie f ysvetlime si to na priklade 5.
  • Priklad 5: g(x) = sin (x2 + 2x - 7)
  • je dobre si niekam nabok napisat, ktora cast vyrazu je povazovana za funkciu vonkajsiu vonkajsiu a ktora za vnutornu. V nasom pripade oznacime h(x) = sinx a f(x) = x2+2x-7
  • g'(x) = cos (x2 + 2x -7) . (2x + 2) = 2(x+1) . cos (x2 + 2x -7 )

 

  • Priklad 6:  (e5x)' = 5.e5x
  • h(x) = ex , f(x) = 5x

 

  •  Priklad 7: g(x) = ln (3 + 5cos3x) !!!
  • tento priklad je zavadzajuci preto, lebo sa v nom vyskytuje trosku viac derivovania. Na prvy kohlad vidime, ze je to vzorec uvedeny hore, ale nestaci ho pouzit len raz. 
  • Na zaciatok si oznacime h(x) = ln a f(x) = 3 + 5cos3x a povieme si ich derivacie. 
  • Ze (ln)' = 1/x je nam vsetkym jasne, ale co s tym druhym vyrazom? Ako si mozeme vsimnut, vyraz 5cos3x je zlozena funkcia sama o sebe, preto ju treba vyriesit predym, nez sa pustime do riesenia celeho prikladu. (5 je povazovana za konstantu rpeto ju nederivujeme!)
  • (3x)' = 3
  • (cos3x)' = -sinx. 3x . 3 = -3sin3x 
  • opat si urcujeme: h(x) = cos x , f(x) = 3x
  • Z toho nam vyplyva ze pre povodny priklad bude platit ze f(x) = -3xin3x, takze pocitame:
  • derivacie2.jpg

  • Do derivacie prirodzeneho logarytmu sme za x dosadili nederivovanu funkciu f(x)

Tak a tymto mame za sebou tutorial na derivacie, tieto vzorce je potrebne vediet ako basnicku aj keby vas zobudili o polnoci  A este dolezitejsie je nielen ich vediet ale aj spravne pouzit   Ako dalsie sa pozrieme na vysetrovanie priebehu funkcii a parcialne derivacie